세상의 모든 유틸쓰는 방법
- 위 칸에 x를 넣어 함수를 적습니다. y =는 붙여도 빼도 됩니다.
- 수식 자판의 단추를 누르면 커서 자리에 들어갑니다. sin·√ 같은 함수 단추는 괄호까지 넣어 줍니다. 칸 아래에는 적은 식을 수학 표기(x² 등)로 다시 보여 줍니다.
- 함수 추가로 여러 개를 겹쳐 그립니다. 둘 이상이면 만나는 곳을 찾아 줍니다.
- 그래프 위에서 휠로 확대하고 끌어서 이동합니다. 손가락으로도 됩니다.
- 곡선 위에 손을 대면 그 자리의 x와 y 값을 읽어 줍니다.
예시: 포물선과 직선이 만나는 곳
- 첫 칸에는 처음부터 식
x^2하나가 들어 있어, 포물선이 그려져 있습니다. - 둘째 칸에
x+2를 적습니다. 직선이 다른 색으로 겹쳐 그려집니다. - 두 그래프가 만나는 곳에
x = -1, y = 1,x = 2, y = 4두 줄이 나오고, 판에는 그 자리에 점이 찍힙니다.
처음 범위(x · y 모두 −10~10)와 RAD에서 다른 식을 넣으면 이렇게 나옵니다.
| 식 둘 | 만나는 곳 | 비고 |
|---|---|---|
x^2 · x+2 | x = -1, y = 1 x = 2, y = 4 | |
x^3 · x | x = -1, y = -1 x = 0, y = 0 x = 1, y = 1 | |
x^2 · 2 | x = -1.41421, y = 2 x = 1.41421, y = 2 | x는 ±√2 |
exp(x) · x+2 | x = -1.84141, y = 0.158594 x = 1.14619, y = 3.14619 | |
sin(x) · cos(x) | x = -8.63938, y = -0.707107 x = -5.49779, y = 0.707107 x = -2.35619, y = -0.707107 x = 0.785398, y = 0.707107 x = 3.92699, y = -0.707107 x = 7.06858, y = 0.707107 | 보이는 범위 안의 여섯 곳 |
x^2 · 1/x | x = 1, y = 1 | x = 0에서 치솟는 자리는 만나는 곳으로 치지 않습니다 |
x^2 · 2x-1 | 없음 | x = 1에서 닿기만 합니다 |
x · x | 없음 | 같은 식은 겹친 선입니다 |
- 좌표는 유효숫자 여섯 자리로 적습니다.
- 지금 보이는 x 범위 안에서만 찾고, 한 번에 12곳까지 적습니다.
- 함수가 셋 이상이면 둘씩 짝지어 모두 찾습니다.
끊어진 자리를 잇지 않습니다
y = 1/x는 x = 0에서 값이 없습니다. 그런데 점을 찍어 이어 그리는 방식으로 그리면 왼쪽 끝의 아주 작은 값과 오른쪽 끝의 아주 큰 값이 한 줄로 이어져, 화면을 가로지르는 세로선이 생깁니다. 실제로는 없는 선입니다.
이 그래프는 두 가지 자리에서 선을 끊습니다.
- 값이 없는 자리 — 1÷0, √(−1), log(−1) 같은 것
- 한 걸음에 화면 높이의 두 배를 건너뛰는 자리 — tan(x)가 90°를 지날 때
그래프는 라디안이 기본입니다
수학에서 함수의 그래프를 그릴 때는 라디안을 씁니다. 그래야 sin(x)의 주기가 2π(약 6.28)로 나오고 미분·적분의 식이 깔끔해집니다. 도(DEG)로 바꾸면 주기가 360이 되어 화면에 한 주기도 안 들어옵니다 — 그때는 x 범위를 넓히세요.
DEG에서 sin(x)와 0.5를 그리면 처음 범위에서는 만나는 곳이 없습니다. x 범위를 −180~180으로 넓히면 x = 30, y = 0.5, x = 150, y = 0.5 두 곳이 나옵니다.
만나는 곳을 찾는 방법
두 함수의 차가 부호를 바꾸는 구간을 찾아 이분법으로 좁힙니다. 그래서 가로지르는 교점은 잘 찾지만, 닿기만 하고 지나가지 않는 곳은 부호가 바뀌지 않아 지나칩니다. 예를 들어 y = (x−0.3)²와 y = 0은 x = 0.3에서 닿지만 찾아 주지 못합니다. 어설프게 찾는 척하기보다 못 찾는 것을 알고 쓰시는 편이 낫다고 보았습니다.
보기 범위와 확대
- 처음 범위는 x · y 모두 −10~10입니다. 처음 범위로를 누르면 돌아옵니다.
- ＋ · − 단추는 판 가운데를 중심으로 1.5배씩 좁히고 넓힙니다. 처음 범위에서 ＋를 한 번 누르면 −6.667~6.667, −를 한 번 누르면 −15~15입니다.
- 휠 한 칸은 1.15배이고, 마우스가 놓인 자리를 중심으로 움직입니다. 처음 범위의 한가운데에서 한 칸 굴리면 −8.696~8.696입니다.
- 범위 칸에 숫자를 직접 적어도 됩니다. 칸의 값은 소수 셋째 자리까지 적어 줍니다. 칸을 비우면 0으로 읽습니다.
- 최대가 최소보다 크지 않으면 최소보다 1 큰 값까지를 그립니다. 칸에 적은 글자는 그대로 둡니다.
- y를 맞추기는 지금 보이는 x 구간에서 나오는 y의 가장 작은 값과 큰 값을 재어, 위아래로 10%씩 여유를 둡니다.
sin(x)라면 y 범위가 −1.2~1.2가 됩니다.y = 3같은 가로선뿐이면 맞출 높이가 없어 그대로 둡니다.
이렇게 적어도 읽습니다
| 적은 것 | 읽은 식 |
|---|---|
y = x^2 | x^2 |
f(x) = x² | x^2 |
x³ − x | x^3 - x |
|x| − 2 | abs(x) - 2 |
2×x÷4 | 2*x/4 |
X^2 | x^2 |
앞머리 y = · f(x) =, 윗첨자 ² · ³, 절댓값 막대, 수학 기호 − · × · ÷, 대문자 X를 받습니다. 함수 이름은 대문자와 소문자를 가리지 않습니다.
함수 이름 뒤의 괄호를 빼고 적어도 읽습니다. 다만 이름 바로 뒤의 값 하나만 함수에 넣습니다. sin 2x는 sin(2x)가 아니라 sin(2)에 x를 곱한 것으로 읽으니, x 하나만 넣는 것이 아니면 괄호를 쓰세요.
| 괄호 없이 적은 것 | 이렇게 읽습니다 |
|---|---|
sin x | sin(x) |
sin 2x | sin(2)*x |
2 sqrt x | 2*sqrt(x) |
sqrt x+1 | sqrt(x)+1 |
sin x^2 | sin(x)^2 |
적을 수 있는 것
| 적는 법 | 뜻 |
|---|---|
| x^2, x^3 | 거듭제곱 |
| 2x, 3(x+1) | 곱셈 기호를 빼도 됩니다 |
| sqrt(x), cbrt(x) | 제곱근·세제곱근 |
| sin cos tan | 삼각함수 (고른 각도 모드로) |
| ln(x), log(x), log2(x) | 자연로그·상용로그·밑 2 로그 |
| exp(x) | e의 거듭제곱 |
| abs(x), floor(x) | 절댓값·버림 |
| pi, e | 원주율·자연상수 |
이런 문구가 뜰 때
| 적은 식 | 뜨는 문구 | 이렇게 고칩니다 |
|---|---|---|
x(x+1) | x 바로 뒤에 괄호나 숫자를 붙이면 함수로 읽습니다. x*(x+1)처럼 곱셈 기호(*)를 넣어 주세요. | x*(x+1) |
sin -x | 'sin' 뒤에 넣을 값이 없습니다. sin(x)처럼 괄호 안에 적어 주세요. | sin(-x) |
pow(x) | 'pow'에는 값을 2개 넣어야 합니다. | pow(x, 2) |
foo(x) | 'foo'는 쓸 수 없는 함수입니다. | 아래 표의 함수 이름만 씁니다 |
a+x | x 말고 다른 이름은 넣을 수 없습니다. | 글자는 x만 씁니다 |
2x+ | 식이 끝나지 않았습니다. | 2x+1 |
(x+1 | 괄호가 닫히지 않았습니다. | (x+1) |
x+1) | 4번째 글자부터는 식으로 읽을 수 없습니다. | x+1 |
x $ 2 | 3번째 글자를 계산에 쓸 수 없습니다. | x*2 |
y = | 계산할 식이 비어 있습니다. | y = x |
- 문구는 위에서부터 처음 틀린 줄의 것 하나만 뜹니다. 그 줄을 고치면 다음 줄을 봅니다.
- "몇 번째 글자"는 앞머리
y =다음 글자부터 셉니다. 1/0이나sqrt(-1)처럼 값이 없는 식은 틀린 식이 아닙니다. 문구 없이 선만 그려지지 않습니다.sqrt(x)가 x가 0보다 작은 쪽에서 비어 있는 것도 같은 까닭입니다.- 범위 칸에 10억을 넘는 값을 적으면 "보기 범위는 −10억~10억까지입니다. 넘는 값은 끝에 맞췄습니다."라고 알립니다.
저장되는 그림
- 그림으로 저장을 누르면 지금 판에 보이는 그대로
그래프.png파일로 내려받습니다. 단추의 글이 잠깐 "저장했습니다"로 바뀝니다. - 곡선에 붙은 식 이름표와 만나는 곳의 점도 그림에 함께 들어갑니다.